ся случайные эксцентрицитеты, и поэтому исследованная выше работа центрально сжатых стержней (п. 5 данного параграфа) является по существу работой сжатых стержней с малыми эксцентрицитетами. Работа же внецентренно сжатых стержней с большими или малыми эксцентрицитетами не имеет принципиальных отличий; только большие значения эксцентрицитетов и моментов сказываются на работе внецентренно сжатых стоек более ярко, процесс же потери устойчивости остается тождественным.

При внецентренном сжатии с самого начала приложения нагрузки помимо продольной деформации возникает изгиб стержня (рис. 3.19,а). Поэтому расчет таких стержней следует проводить по деформированной схеме.

На рис. 3.19,6 показана зависимость между сжимающей силой Л и стрелкой прогиба стержня v. Восходящая ветвь диаграммы характеризует устойчивое состояние стержня, нисходящая - неустойчивое, а несущая способность равна максимальному значению сжимающей силы Nu, которая может быть воспринята стержнем.

При определении критической (предельной) силы /V„ принимаются следующие основные предпосылки:

перемещения считаются достаточно малыми, что позволяет использовать приближенное выражение для кривизны изогнутой оси

р»-у"; (3.43)

отно.сительные деформации в поперечном сечении е следуют гипотезе плоских сечений (рис. 3.19, в)

8 = eo-f р(/ = 8о -(3.44)

связь между нормальными напряжениями а и относительными деформациями е для материала устанавливается зависимостью

а = Де); (3.45)

в процессе возрастания нагрузки и в момент потери устойчивости влияние разгрузки не учитывается, т. е. рассматривается нелинейно упругий материал (см. рис. 3.16, в и 3.19,6) как в условиях догрузки, так и разгрузки.

Для определения предельной нагрузки Nu примени.м метод бесконечно малых возмущений в окрестностях состояний равновесия стержня. Для этого рассмотрим некоторое исходное состояние равновесия в точке А (см. рис. 3.19,6). Условия равновесия внешних и внутренних сил и изгибающих моментов в сечениях стержня имеют вид

- {adA + N = 0; - aydA +N (vе) =0. (3.46)

Наряду с этим рассмотрим другое состояние равновесия в точке Л], отличающееся от исходного на бесконечно малую величину перемещения бо (см. рис. 3.19, а, б). При этом деформации и напряжения в сечениях получают приращения, равные соответственно бе и бет (см. рис. 3.19, в, г). Условия равновесия внешних и внутренних сил и моментов для нового равновесного состояния в точке Ai получат следующий вид:

- \ {а + ба) dA + N-{-8N = 0; -\ (а + 6а) ydA + (N + 8N)(v + 8v + е) = 0. (3.47) а а

Вычитая почленно из уравнений (3.47) уравнения (3.46) с точностью до бесконечно малых второго порядка, получим условия равновесия для бесконечно малых приращений:

- {&adAi-8N = 0; - aydA + N8v-\-8N {v-\-е) =0. (3.48)

Полученные зависимости (3.48) справедливы для любой точки кривой состояний равновесия ОМВ (см. рис. 3.19,6).

Практический интерес представляет решение этих уравнений для точки М максимума кривой ОМВ. В бесконечно малой окрестности точ-

ки М сжимаюиая сила постоянна, в связи с чем имеем 6Л=0. При этом из уравнений (3.48) получаем:

-UadA=0- -j" ба(/ЙЛ + Лбу = 0. (3.49) а а

Из диаграммы работы материала а=/(е) имеем (см. рис. 3.19, <3)

ба = бе-=£<бе, (3.50)

где £( -касательный модуль для диаграммы работы материала стержня.

С учетом (3.44) находим

бе = ббо + fipi/=о - 6у"(/. (3.51)

Подставляя ба из (3.50) в условия равновесия (3.49) с учетом (3.51), получим:

- \Et{Sea - 6v"y)dA = 0; - \ Et (бво -У) ydA + N&v = 0. (3.52) а а

Определяя из первого уравнения системы (3.52) величину 6so и подставляя ее во второе уравнение этой системы, получим дифференциальное уравнение для определения Nu в следующем виде:

E/t6v" + N8v = Q, (3.53)

где It - момент инерции приведенного с учетом касательного модуля сечения относительно его собственной центральной оси.

При рещении практических задач форма изогнутой оси обычно принимается по полуволне синусоиды (см. рис. 3.19, а)

у= / sin - . (3.54)

В этом случае условия равновесия достаточно рассмотреть только в наиболее напряженном (срединном) сечении стержня. При этом из ре-щения уравнения (3.53) с учетом (3.54) находим

Nu = nEIi/P. (3.55)

Для определения приведенной жесткости стерл<ня Eh необходимо знать эпюру напряжений в наиболее нагруженном сечении стержня. Зависимость (3.45) можно записать в виде

а = £е = £5 {e-v" у),

где £„ -секущий модуль (см. рис. 3.19,(9).

Тогда, рассматривая систему (3.46) с учетом (3.45) получим дифференциальное уравнение изгиба внецентренно сжатого стержня

EIefv" + N (v+e)=0, (3.56)

где ht = M/Ep - момент инерции приведенного с учетом секущего Es модуля сечения относительно его собственной центральной оси.

Из решения уравнения (3.56) с учетом (3.54) для срединного сечения стержня в точке максимума М кривой его состояний равновесия {v = f; N = Nu) получаем

Nei = я2 EleflP.

Таким образом, значения предельных параметров в точке М определяются в результате совместного решения двух уравнений (3.55) и (3.57) для срединного сечения стержня.

В соответствии с изложенным разработана методика расчета на устойчивость внецентренно сжатых и сжато-изогнутых элементов, установленная в нормах на проектирование стальных конструкций.

Проверка устойчивости элементов постоянного сечения в плоскости действия момента, совпадающей с плоскостью симметрии (изгибная форма потери устойчивости), производится по формуле

Л/фвнЛ<Ку. (3.58)

Рнс. 3.20. Графики коэффициентов ф

; г 3 If S 6 7 в 9 Ш И 12 !3 Ii

Рис. 3.21. Распространение пластических деформаций в двутавровом сечении

а - при эксцентрицитете в плоскости стенки; б - при эксцентрицитете перпендикулярно стенке

Рис. 3.22 Кручение балки

а - свободное, б - стесненное

Рнс. 3.23. Кручение различных профилей

а - пластины, б - двутавра, в - двутавра, расчлененного на пластины, г - то же, швеллера;

й - сопряжение пластин

где срвн = вн ? - коэффициент снижения расчетных напряжений при внецентренном сжатии определяется в зависимости от условной гибкости K-kYRIE и приведенного эксцентрицитета mi, определяемого по формуле

mi = rim, (3.59)

где г\ - коэффициент влияния формы сечения, т = еЛ/Шс-относительный эксцентрицитет (отношение эксцентрицитета к радиусу ядра сечения); Ис - момент сопрогивле-ния для наиболее сжатого волокна, е = М/Л- эксцентрицитет приложения нормальной силы, М - расчетный момент, принимаемый в зависимости от условий закреплени.ч стержня по концам и вида эпюры моментов